１．子どものことを信じればこそ、一人で何でもやらせるのだ。

～ばこそ
由接续助词「ば」与提示助词「こそ」复合而成。
前接用言假定形，后与「のだ」等呼应，类似于「からこそ」，表示有了前项的原因，才导致后想的结果。可译为“正因为……才……”。例如：
あなたのためを思えばこそ、みんな行かなかったのです（正因为想着你，大家才没去）
親が子供を叱るのは、子供がかわいければこそだ（只是因为便宜才买的）
ただ安ければこそ買ったのだ（父母训斥孩子，正是因为爱孩子）

综上：
正是因为相信孩子，才让他一个人做任何事情的

２．人の心配をよそにこんなに遅くまでどこをうろついていたのよ。

をよそに：
前接体言，表示对前述内容不理睬、不考虑、毫无顾忌地进行后述事项。可译为“不顾……”“对……置之不理”。例如：

親の反対をよそに、彼女は外国人と結婚した（她不顾父母的反对，和外国人结婚了）
あの人は友達の忠告をよそに、愛人とアメリカへ行った（那个人不顾朋友的忠告，和情人去美国了）

综上：

不将别人的担心放在心上才这样在外面（某处）闲荡到很晚的。

仅供参考！


提问者对于答案的评价：写的很具体，谢谢！！